高中数学笔记-10-解析几何

十、解析几何

1. 直线

1. 直线的倾斜角和斜率

   • 当 $l$ 与 $x$ 轴相交时，$x$ 轴正方向与 $l$ 向上的方向之间所成的角 $\alpha$ 称为直线的倾斜角，倾斜角 $\alpha$ 满足 $0\degree\le\alpha\le180\degree$。（任何直线都有倾斜角）

   • 倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率，常用 $k$ 表示，即 $k=\tan\alpha$。（不是所有的直线都有斜率）

     $k=\tan\alpha=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ (P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),x_1\neq x_2)$

   • 若 $l$ 的斜率为 $k$，他的一个方向向量坐标为 $(x,y)$，则 $k=\dfrac{y}{x}\ (x\neq 0)$。

2. 斜截式的位置关系（$l:y=kx+b$）

   • 平行：$k_1=k_2,\ b_1\neq b_2$
   • 垂直：$k_1\cdot k_2=-1$
   • 相交：$k_1\neq k_2$
   • 重合：$k_1=k_2,\ b_1=b_2$

3. 五种直线方程

   • 点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$
   • 斜截式：$y=kx+b$
   • 两点式：$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$
   • 截距式：$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$（$a,b$ 为横纵截距）
   • 一般式：$Ax+By+C=0$（$A^2+B^2\neq 0$）

4. 距离公式

   • 两点间距离公式

     $\vert P_1P_2\vert=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

   • 点到直线距离公式

     $d=\dfrac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

   • 平行线间距离公式

     $d=\dfrac{\vert C_1-C_2\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

   • 点关于直线的对称公式

     $P'(x_0-2A\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},y_0-2B\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2})$

2. 圆

1. 圆的标准方程

   圆心坐标 $(a,b)$，半径 $r$：$(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$

2. 点与圆的位置关系

   若 $d=\sqrt{(a-x_0)^2+(b-y+0)^2}$

   • $d>r$，在圆外
   • $d=r$，在圆上
   • $d<r$，在圆内

3. 圆的一般方程

   $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

   • 当 $D^2+E^2-4F>0$ 时，为圆的一般方程，圆心坐标为 $(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2})$，半径为 $\dfrac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$
   • 当 $D^2+E^2-4F=0$ 时，为一个点 $(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2})$
   • 当 $D^2+E^2-4F<0$ 时，不表示任何图形

4. 圆的参数方程

   $$

5. 直线与圆的位置关系

   求出圆心与直线的距离 $d$，将其与 $r$ 比较，用几何法。

6. 直线被圆所截

   直线与圆相交于 $A,B$ 两点，求弦长。

   $\vert AB\vert=\sqrt{1+k^2}\vert x_1-x_2\vert=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ \vert AB\vert=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}\vert y_1-y_2\vert=\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}$

3. 椭圆

4. 双曲线

5. 抛物线