第九课 立体几何

注：所有立体几何图片均来源于高中数学书A版必修2

1. 斜二测画法（画直观图）

常令坐标轴的夹角为 $45\degree$，遵循横不变，纵减半的原则，如图

面积关系：$S’=\dfrac{\sqrt{2}}{4}S$

2. 常用基本事实

1. 基本事实1

   过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

   $A,B,C$ 三点不共线 且 $A,B,C\in\alpha$ $\Rightarrow$ $\alpha$ 唯一

2. 基本事实2

   如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

   $A\in l,B\in l$ 且 $A\in\alpha,B\in\alpha$ $\Rightarrow$ $l\sqsubset\alpha$

3. 基本事实3

   如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线

   $P\in\alpha,Q\in\beta$ 且 $\alpha,\beta$ 不重合 $\Rightarrow$ $\alpha\cap\beta=l$ 且 $l$ 唯一

   • 推论1

     经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

   • 推论2

     经过两条相交直线，有且只有一个平面

   • 推论3

     经过两条平行直线，有且只有一个平面

4. 基本事实4

   平行于同一直线的两直线平行

   $a//b$ 且 $c//b$ $\Rightarrow$ $a//c$

3. 位置关系

1. 直线与直线的位置关系

   

   • 共面直线
     • 相交：$a\cap b=P$
     • 平行：$a//b$
   • 异面直线：不在任何一个平面内的两条直线

2. 直线与平面的位置关系

   

   • 直线在平面内：$a\sqsubset\alpha$
   • 直线在平面外
     • 相交：$a\cap b=P$
     • 平行：$a//\alpha$

3. 平面与平面的位置关系

   

   • 相交：$\alpha\cap\beta=l$
   • 平行：$\alpha//\beta$

4. 判定定理与性质定理

1. 直线与平面平行的判定定理与性质定理

   

   • 判定：$a//b$ 且 $b\sqsubset\alpha$ 且 $a\not\sqsubset\alpha$ $\Rightarrow$ $a//\alpha$
   • 性质：$a//\alpha$ 且 $a\in \beta$ 且 $\alpha\cap \beta=b$$\Rightarrow$ $a//b$

2. 平面与平面平行的判定定理与性质定理

   

   • 判定：$a//\alpha$ 且 $b//\alpha$ 且 $a\cap b=P$ 且 $a\in\beta$ 且 $b\in\beta$ $\Rightarrow$ $\alpha//\beta$
   • 性质：$\alpha//\beta$ 且 $\alpha\cap r=a$ 且 $\beta\cap r=b$ $\Rightarrow$ $a//b$

3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理

   • 判定：$l\perp a$ 且 $l\perp b$ 且 $a\cap b=P$ 且 $a,b\sqsubset\alpha$ $\Rightarrow$ $l\perp\alpha$