第八课 复数

1. 复数的定义

1. 复数集

   $\C={a+bi\vert a,b\in\R}$

2. 代数形式

   $z=a+bi$

   • $a$ 称为实部 $Re(z)=a$
   • $b$ 称为虚部 $Im(z)=b$
   • $i$ 称为虚数单位 $i^2=-1$
   • $b=0$ 为实数
   • $b\neq 0$ 为虚数（$a=0$ 为纯虚数）

3. 几何形式：复平面

   

   复数与复平面上的点、平面向量一一对应

4. 模

   $z=a+bi$

   $\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$

5. 共轭复数

   实部相同，虚部互为相反数的复数互为共轭复数

   $z=a+bi$

   $\overline{z}=a-bi$

6. 共轭复数的性质

   $\vert z\vert=\vert\overline{z}\vert$

   $z+\overline{z}=2a$

   $z-\overline{z}=2bi$

   $z\cdot\overline{z}=a^2+b^2=\vert z\vert^2\in\R$

   $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

   $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

   $\overline{(\dfrac{z_1}{z_2})}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

2. 复数的代数运算

设 $z_1=a+bi$，$z_2=c+di$

1. 加法

   $z_1+z_2=a+c+(b+d)i$

2. 减法

   $z_1-z_2=a-c+(b-d)i$

3. 数乘

   $\lambda z_1=\lambda a+\lambda bi$

4. 乘法

   $z_1z_2=ac-bd+(ad+bc)i$

5. 除法

   $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$

3. 复数的三角表示

1. 定义

   

   $a=r\cos\theta$，$b=r\sin\theta$，$z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

   $\theta$ 是幅角（不唯一），$\theta\in[0,2\pi)$ 的幅角，称为幅角的主值，记 $\arg z\in[0,2\pi)$

   $r$ 是模长，$r=\sqrt{a^2+b^2}$

2. 乘法

   $z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$

   模长相乘，幅角相加

3. 除法

   $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$

   模长相除，幅角相减

4. 模的性质

   $\vert z_1\cdot z_2\vert=\vert z_1\vert\vert z_2\vert$

   $\vert\dfrac{z_1}{z_2}\vert=\dfrac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}$

   推广：$\vert z\vert^n=\vert z^n\vert$