第七课 平面向量
1. 向量基础知识
定义
向量：既有大小，又有方向的量
数量：只有大小，没有方向的量
零向量：长度为 $0$ 的向量，表示为 $\vec{0}$，方向任意
单位向量：长度等于 $1$ 个单位的向量，即 $\vert\vec{a}\vert=1$
相等向量：长度相等且方向相同的向量
相反向量：长度相等且方向相反的向量，即 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$
平行向量：方向相同或相反的非零向量，零向量与任何向量平行，没有传递性
向量的表示
几何表示（有向线段）
小写字母（$\vec{a}$）
坐标（$\vec{a}=(x,y)$）
2. 向量的运算
向量加法运算
三角形法则：首尾相连，由首至尾
平行四边形法则：共起点
向量三角不等式：$\vert\vert\vec{a}\vert-\vert\vec{b}\vert\vert\le\vert\vec{a}\pm\vec{b}\vert\le\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert$
向量减法运算
三角形法则：共起点，连终点，方向指向被减向量
向量数乘运算
- 实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的积是一个向量，记作 $\lambda\vec{a}$
- $\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$
- 当 $\lambda>0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相同，当 $\lambda<0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相反，当 $\lambda=0$ 时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$
向量的数量积和投影
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$，零向量与任意向量的数量积为 $0$
$\theta=0\degree\Leftrightarrow\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向 $\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$
$\theta=180\degree\Leftrightarrow\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向 $\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=-\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$
$\theta$ 为锐角 $\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}>0$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线
$\theta$ 为钝角 $\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}<0$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线
投影：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\vert\vec{a}\vert\cos\theta$ 或 $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}$，投影是一个数值，可正可负可零
数量积的几何意义：$\vec{a}$ 的长度与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影的乘积
投影向量：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为$\vert\vec{a}\vert\cos\theta\cdot\dfrac{\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}$ 或 $\dfrac{(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}}{\vec{b}^2}$
性质：$\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\le\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$
运算律1：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
运算律2：$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot\lambda\vec{b}$
运算律3：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
注意：没有分配律！
3. 平面向量和坐标
向量的坐标
选定 ${\vec{i},\vec{j}}$ 为基底（通常是垂直的），令 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$
若 $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$，则把有序数对 $(x_1,y_1)$ 叫做 $\vec{a}$ 的坐标
向量的坐标运算
令 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$
- $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
- $\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
- $\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$
- $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$
- $\cos <\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
分点坐标公式
设点 $P$ 是线段 $P_1P_2$ 上的一点，$P_1(x_1,y_1)$，$P_2=(x_2,y_2)$，当 $\vec{P_1P}=\lambda\vec{PP_2}$ 时，点 $P$ 的坐标为 $(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})$
4. 平面向量有关定理
向量共线定理
向量 $\vec{a}(\vec{a}\neq\vec{0})$，当且仅当存在唯一一个实数 $\lambda$，使得 $\vec{b}=\lambda\vec{a}$
推论1：$A$、$B$、$C$ 三点共线 $\Leftrightarrow \vec{AB}$、$\vec{AC}$ 共线
推论2：向量 $\vec{PA}$、$\vec{PB}$、$\vec{PC}$ 三终点 $A$、$B$、$C$ 共线 $\Leftrightarrow$ 存在实数 $\alpha$、$\beta$，使得 $\vec{PA}=\alpha\vec{PB}+\alpha\vec{PC}$，且 $\alpha+\beta=1$
基底
如果 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是同一平面内的两个不共线的向量，呢么对于这个平面内的任意向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1$、$\lambda_2$，使得 $\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$，其中 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是一组基底
注意：零向量不能作为基底
极化恒等式
- $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2]$
- 几何意义：以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的两条对角线长度的平方差乘以 $\dfrac{1}{4}$
- 使用特点：两向量的和或差的模已知时
对角线向量公式（斯坦纳公式）
$\vec{AB}\cdot\vec{CB}=\dfrac{(\vec{AD}^2+\vec{CB}^2)-(\vec{AB}^2+\vec{CD}^2)}{2}$
三角形结论
$A=2B\Leftrightarrow a^2=b^2+bc$
5. 平面向量与三角形四心
$O$ 为 $\triangle ABC$ 重心 $\Leftrightarrow\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_1,y_1)$，$C(x_1,y_1)$，则 $\triangle ABC$ 的重心坐标为 $(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3})$
面积比与四心结论1（奔驰定理）
设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内任意一点，$\triangle OBC$，$\triangle OAC$，$\triangle OAB$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$S_3$ 则 $S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$
面积比与四心结论2
设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内任意一点，$\triangle OBC$，$\triangle OAC$，$\triangle OAB$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$S_3$
- 当点 $O$ 与点 $A$ 在 $BC$ 异侧时，则 $-S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$
- 当点 $O$ 与点 $B$ 在 $AC$ 异侧时，则 $S_1\vec{OA}-S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$
- 当点 $O$ 与点 $C$ 在 $AB$ 异侧时，则 $S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}-S_3\vec{OC}=\vec{0}$
6. 平面向量的应用
正弦定理
如图，取与 $\vec{AB}$ 垂直且向上的一个单位向量 $\vec{n}$
$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
$(\vec{AB}+\vec{BC})\cdot\vec{n}=\vec{AC}\cdot\vec{n}$
$\vec{AB}\cdot\vec{n}+\vec{BC}\cdot\vec{n}=\vec{AC}\cdot\vec{n}$
$0+a\cdot\cos(\dfrac{\pi}{2}-B)=b\cdot\cos(\dfrac{\pi}{2}-A)$
$a\sin B=b\sin A$
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$
同理可证：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
余弦定理
$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
$(\vec{AB}+\vec{BC})^2=\vec{AC}^2$
$\vec{AB}^2+2\vec{AC}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2=\vec{AC}^2$
$c^2+2c\cdot a\cdot\cos(\pi-B)+a^2=b^2$
$a^2+c^2-2ac\cdot\cos B=b^2$
同理可证出另外两组边角
余弦定理的向量式：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$
