高中数学笔记-7-平面向量

第七课 平面向量

1. 向量基础知识

1. 定义

   • 向量：既有大小，又有方向的量

   • 数量：只有大小，没有方向的量

   • 零向量：长度为 $0$ 的向量，表示为 $\vec{0}$，方向任意

   • 单位向量：长度等于 $1$ 个单位的向量，即 $\vert\vec{a}\vert=1$

   • 相等向量：长度相等且方向相同的向量

   • 相反向量：长度相等且方向相反的向量，即 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$

   • 平行向量：方向相同或相反的非零向量，零向量与任何向量平行，没有传递性

2. 向量的表示

   • 几何表示（有向线段）

     

   • 小写字母（$\vec{a}$）

   • 坐标（$\vec{a}=(x,y)$）

2. 向量的运算

1. 向量加法运算

   • 三角形法则：首尾相连，由首至尾

     

   • 平行四边形法则：共起点

     

   • 向量三角不等式：$\vert\vert\vec{a}\vert-\vert\vec{b}\vert\vert\le\vert\vec{a}\pm\vec{b}\vert\le\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert$

2. 向量减法运算

   • 三角形法则：共起点，连终点，方向指向被减向量

     

3. 向量数乘运算

   • 实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的积是一个向量，记作 $\lambda\vec{a}$
   • $\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$
   • 当 $\lambda>0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相同，当 $\lambda<0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相反，当 $\lambda=0$ 时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$

4. 向量的数量积和投影

   • $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$，零向量与任意向量的数量积为 $0$

   • $\theta=0\degree\Leftrightarrow\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向 $\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$

   • $\theta=180\degree\Leftrightarrow\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向 $\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=-\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$

   • $\theta$ 为锐角 $\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}>0$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线

   • $\theta$ 为钝角 $\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}<0$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线

   • 投影：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\vert\vec{a}\vert\cos\theta$ 或 $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}$，投影是一个数值，可正可负可零

     

   • 数量积的几何意义：$\vec{a}$ 的长度与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影的乘积

   • 投影向量：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为$\vert\vec{a}\vert\cos\theta\cdot\dfrac{\vec{b}}{\vert\vec{b}\vert}$ 或 $\dfrac{(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}}{\vec{b}^2}$

   • 性质：$\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\le\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert$

   • 运算律1：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

   • 运算律2：$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot\lambda\vec{b}$

   • 运算律3：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$

   • 注意：没有分配律！

3. 平面向量和坐标

1. 向量的坐标

   选定 $\{\vec{i},\vec{j}\}$ 为基底（通常是垂直的），令 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$

   若 $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$，则把有序数对 $(x_1,y_1)$ 叫做 $\vec{a}$ 的坐标

2. 向量的坐标运算

   令 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

   • $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
   • $\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
   • $\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$
   • $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$
   • $\cos <\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

3. 分点坐标公式

   设点 $P$ 是线段 $P_1P_2$ 上的一点，$P_1(x_1,y_1)$，$P_2=(x_2,y_2)$，当 $\vec{P_1P}=\lambda\vec{PP_2}$ 时，点 $P$ 的坐标为 $(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})$

4. 平面向量有关定理

1. 向量共线定理

   • 向量 $\vec{a}(\vec{a}\neq\vec{0})$，当且仅当存在唯一一个实数 $\lambda$，使得 $\vec{b}=\lambda\vec{a}$

   • 推论1：$A$、$B$、$C$ 三点共线 $\Leftrightarrow \vec{AB}$、$\vec{AC}$ 共线

   • 推论2：向量 $\vec{PA}$、$\vec{PB}$、$\vec{PC}$ 三终点 $A$、$B$、$C$ 共线 $\Leftrightarrow$ 存在实数 $\alpha$、$\beta$，使得 $\vec{PA}=\alpha\vec{PB}+\alpha\vec{PC}$，且 $\alpha+\beta=1$

2. 基底

   • 如果 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是同一平面内的两个不共线的向量，呢么对于这个平面内的任意向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1$、$\lambda_2$，使得 $\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$，其中 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是一组基底

   • 注意：零向量不能作为基底

3. 极化恒等式

   • $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2]$
   • 几何意义：以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的两条对角线长度的平方差乘以 $\dfrac{1}{4}$
   • 使用特点：两向量的和或差的模已知时

4. 对角线向量公式（斯坦纳公式）

   $\vec{AB}\cdot\vec{CB}=\dfrac{(\vec{AD}^2+\vec{CB}^2)-(\vec{AB}^2+\vec{CD}^2)}{2}$

5. 三角形结论

   $A=2B\Leftrightarrow a^2=b^2+bc$

5. 平面向量与三角形四心

1. $O$ 为 $\triangle ABC$ 重心 $\Leftrightarrow\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$

2. 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_1,y_1)$，$C(x_1,y_1)$，则 $\triangle ABC$ 的重心坐标为 $(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3})$

3. 面积比与四心结论1（奔驰定理）

   

   设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内任意一点，$\triangle OBC$，$\triangle OAC$，$\triangle OAB$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$S_3$ 则 $S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$

4. 面积比与四心结论2

   设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内任意一点，$\triangle OBC$，$\triangle OAC$，$\triangle OAB$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$S_3$

   • 当点 $O$ 与点 $A$ 在 $BC$ 异侧时，则 $-S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$
   • 当点 $O$ 与点 $B$ 在 $AC$ 异侧时，则 $S_1\vec{OA}-S_2\vec{OB}+S_3\vec{OC}=\vec{0}$
   • 当点 $O$ 与点 $C$ 在 $AB$ 异侧时，则 $S_1\vec{OA}+S_2\vec{OB}-S_3\vec{OC}=\vec{0}$

6. 平面向量的应用

1. 正弦定理

   

   如图，取与 $\vec{AB}$ 垂直且向上的一个单位向量 $\vec{n}$

   $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

   $(\vec{AB}+\vec{BC})\cdot\vec{n}=\vec{AC}\cdot\vec{n}$

   $\vec{AB}\cdot\vec{n}+\vec{BC}\cdot\vec{n}=\vec{AC}\cdot\vec{n}$

   $0+a\cdot\cos(\dfrac{\pi}{2}-B)=b\cdot\cos(\dfrac{\pi}{2}-A)$

   $a\sin B=b\sin A$

   $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

   同理可证：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

2. 余弦定理

   

   $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

   $(\vec{AB}+\vec{BC})^2=\vec{AC}^2$

   $\vec{AB}^2+2\vec{AC}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2=\vec{AC}^2$

   $c^2+2c\cdot a\cdot\cos(\pi-B)+a^2=b^2$

   $a^2+c^2-2ac\cdot\cos B=b^2$

   同理可证出另外两组边角

   余弦定理的向量式：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$